Etymologie, Etimología, Étymologie, Etimologia, Etymology
DE Deutschland, Alemania, Allemagne, Germania, Germany
Geometrie, Geometría, Géométrie, Geometria, Geometry
Algebraische Geometrie, Geometría algebraica, Géométrie algébrique, Geometria algebrica, Algebraic geometry
Analytische Geometrie, Geometría analítica, Géométrie analytique, Geometria analitica, Analytic geometry
Digitale Geometrie (Diskrete Geometrie), , Géométrie discrète, Geometria digitale, Digital geometry
Differentialgeometrie (Differenzialgeometrie), Geometría diferencial, Géométrie différentielle, Geometria differenziale, Differential geometry

Freie Künste

A

Arithmetische Geometrie (W3)

...
Die "Arithmetische Geometrie" beschäftigt sich mit der systematischen Untersuchung der ganzzahligen Lösungen polynomialer Gleichungen (mit ganzzahligen Koeffizienten) mit Methoden der modernen Algebraischen Geometrie. In diesem Zusammenhang konnten tiefe Einsichten über die Geometrie und Arithmetik gewisser Modulräume mittels komplex analytischer Uniformisierung gewonnen werden.
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Differentialgeometrie (W3)

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Geometrie, geometry (W3)

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mathematik
Euklid und die Elemente

Euklid und die Elemente ©
Norbert Froese
13.07.2007
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Inhaltsverzeichnis

• Einleitung..........................................3
• Der Aufbau der Elemente..............................6
• Buch I - Anfänge der Planimetrie.....................9
• Buch II - geometrische Algebra......................12
• Buch III - Kreislehre...............................15
• Buch V - Proportionenlehre..........................18
• Buch VI - Ähnlichkeitslehre.........................19
• Buch VII - Anfänge der Zahlentheorie (ggT und kgV)..21
• Buch VIII und IX - Zahlentheorie (Satz von Euklid)..22
• Buch X - Inkommensurables...........................25
• Buch XI - Anfänge der Stereometrie..................26
• Buch XII - Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel......28
• Nachbemerkung.......................................30
• Anmerkungen zur Überlieferungsgeschichte............31
• More geometrico.....................................32
• Kritik der Elemente.................................33
• Hilberts Reformulierung der Elemente................35
• Anhang..............................................38
• Abbildungen.........................................38
• Empfehlungen........................................38
• Bücher..............................................38
• Links...............................................38
• Schlussbitte........................................39

Einleitung

Die Elemente sind das mit Abstand einflussreichste Buch der Mathematik Geschichte. Besonders dessen Kapitel über die Geometrie haben in der Mathematik beispielgebend gewirkt. Sie charakterisieren paradigmatisch das (danach und dadurch verbindlich gewordene) Leitbild der akademischen Mathematik.

Der Autor der Elemente, Euklid (Euclid, Eukleides), wirkte um 300 v.Chr. in Alexandria. Über verlässliche, genauere Lebensdaten verfügen wir leider nicht. Selbst zu Geburts- und Todesjahr kursieren stark unterschiedliche Zahlen. Sein Geburtsort ist unklar.
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matheraetsel
Geometrie - Aufgabensammlung

Aufgabensammlung zur Geometrie

• " Aufgabensammlung zur Kreis - und Dreiecksgeometrie
• " ZIP Archiv mit allen Aufgaben und Lösungen: geometrie.zip

Titel

• Landvermessung
• Dreiecksrätsel 1
• Gassen - Geometrie
• Dreiecksrätsel 2
• Drei Kreise im Dreieck
• Das geteilte Quadrat
• Quadrat und Parabel
• Dreiecksrätsel 3
• Die Gurtstagstorte
• Winkel im Dreieck gesucht
• Dreiecksrätsel aus Baltic Way Wettbewerb
• Winkel im Rechteck gesucht
• Ein Halbkreis im Trapez
• Kreiskegel
• Trapez im Kreis
• Fünf Kreise imQuadrat
• Malfatti Probelm
• Ein besonderer Schnittpunkt im Dreieck
• Das gefaltete Quadrat
• Weidenzaun
• Leiter und Holzkiste
• Zwei Dreiecke
• Zwei Kreise
• Zwei Türme
• Arbelos
• Kreissehnen
• Wäscheleinen

N

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Oloid (W3)

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Das Oloid, in seiner vollen geometrischen Form, ist der einzige bekannte Körper, der über seine gesamte Oberfläche abrollen kann.
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Das Oloid ist ein geometrischer Körper, der 1929 vom Bildhauer und Maschinenbauer Paul Schatz entdeckt wurde. Es kann definiert werden als die konvexe Hülle zweier gleichgroßer Kreise, die bis an die Mittelpunkte senkrecht ineinander geschoben sind. Der Abstand der Mittelpunkte ist dann gleich dem Radius der Kreise. Das Oloid hat keine Ecken und nur die beiden äußeren Kreisbögen als Kanten (jeweils 240°), ansonsten ist es glatt. Es besitzt mehrere Eigenschaften, die es deutlich von anderen geometrischen Körpern unterscheiden und die es mathematisch zu einem interessanten Objekt machen. Schatz hat es zusammen mit dem umstülpbaren Würfel erfunden. Es gilt auch als Plausibilitätshinweis für die von Schatz begründete Inversionskinematik.
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Fixiert man einen der Tetraeder und beobachtet den Weg der ihm gegenüber liegende Diagonalen, so erkennt man, dass die von ihr überstrichene Fläche die Oberfläche (Regelfläche) eines geometrischen Körpers ist, den Schatz "Oloid" nannte.
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P

Platonische Körper (W3)

• Alle Seitenflächen bestehen aus kongruenten (d.h. deckungsgleichen) regelmässigen Polygonen.
• In allen Ecken stossen gleichviele Seitenflächen zusammen.

Applets zu Platonischen und Archimedischen Körpern

Platonische und Archimedische Körper

• Körper: Tetraeder | Abgestumpftes Tetraeder | Abgest. Ikosidokaeder oder gr. Rhombenikosidokaeder | Dürers Polyeder aus Melencolia I (kein archimedischer Körper)
• Darstellung: durchsichtiges Netz | undurchsichtiges Netz | undurchsichtiges Netz mit Nummern | schattierte 3D-Darstellung
• Projektion: Zentralperspektive sehr nahe | Zentralperspektive nahe | Zentralperspektive normal | Zentralperspektive entfernter | Zentralperspektive fern | Parallelprojektion (isometrisch)

Platonische Körper in der Kunst

• Geometrie: Platonische Körper sind regelmäßige Polyeder ...
• Geschichte: Kultgegenstände, Welt-Bausteine
• Kunst: Renaissance, Escher, Dali...
• Natur: Kristalle, Quasikristalle und Viren

...
In seinem 1596 veröffentlichten Buch "Mysterium Cosmographicum" ("Das Weltgeheimnis") versuchte Kepler, die Bahnen der damals bekannten fünf Planeten "Merkur", "Venus", "Mars", "Jupiter" und "Saturn" mit der Oberfläche der fünf platonischen Körper in Beziehung zu setzen. Die Umlaufbahn des Saturns stellte er sich dabei als Großkreis auf einer Kugel – noch nicht als Ellipse – vor, die einen Würfel ("Hexaeder") umschließt. Der Würfel umschließt wiederum eine Kugel, welche die Jupiterbahn beschreiben soll (siehe Abbildung). Diese Kugel wiederum schließt ein "Tetraeder" ein, das die Marskugel umhüllt. Diese Arbeit war nach Keplers Entdeckung des ersten nach ihm benannten Gesetzes – spätestens aber nach der Entdeckung entfernterer Planeten – nur noch von historischem Interesse.

In seinem 1619 erschienenen Werk "Harmonice mundi" ("Weltharmonik") stellte er ebenso wie im "Mysterium Cosmographicum" eine Verbindung zwischen den platonischen Körpern und der klassischen Auffassung der Elemente her. Das "Tetraeder" war die Form des Feuers, das "Oktaeder" das Symbol der Luft, der "Würfel" das der Erde, das "Ikosaeder" symbolisierte das Wasser, und das "Dodekaeder" stand für den Kosmos als Ganzes oder den Äther. Es gibt Beweise, dass dieser Vergleich antiken Ursprungs ist, wie Plato von einem gewissen "Timaeus von Locri" erklärt, der sich das Universum vorstellte als von einem gigantischen "Dodekaeder" umgeben, während die anderen vier Körper die „Elemente“ des "Feuers", der "Luft", der "Erde" und des "Wassers" darstellen. Zu Keplers Enttäuschung scheiterten all seine Versuche, die Bahnen der Planeten innerhalb eines Satzes von Polyedern anzuordnen. Ein Zeugnis seiner Integrität als Wissenschaftler ist es, dass er die Theorie, an deren Beweis er so hart gearbeitet hatte, verwarf, als die Einsicht gegen sie sprach.
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He found that each of the five "Platonic solids" could be uniquely inscribed and circumscribed by spherical orbs; nesting these solids, each encased in a sphere, within one another would produce six layers, corresponding to the six known planets — "Mercury", "Venus", "Earth", "Mars", "Jupiter", and "Saturn". By ordering the solids correctly — "octahedron", "icosahedron", "dodecahedron", "tetrahedron", "cube" — Kepler found that the spheres could be placed at intervals corresponding (within the accuracy limits of available astronomical observations) to the relative sizes of each planet’s path, assuming the planets circle the Sun. Kepler also found a formula relating the size of each planet’s orb to the length of its orbital period: from inner to outer planets, the ratio of increase in orbital period is twice the difference in orb radius. However, Kepler later rejected this formula, because it was not precise enough.
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Q

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Definition: regelmäßig (W3)

regelmäßig
In der Geometrie heißen gleichseitige, gleichwinklige Vielecke und gleichflächige Polyeder (Platonische Körper) regelmäßig.

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schuelerlexikon
Mathematik-Lexikon
Geometrie

• 2.3 Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen
• 6.3 Geometrische Abbildungen
• 7.1.1 Begriffe und Merkmale geometrischer Körper
• 10.1 Zur Entwicklung der analytischen Geometrie
• 11 Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes
• 13.2.6 Urnenmodelle; Ziehen mit und ohne Zurücklegen; hypergeometrische Verteilung
• 15.2.4 Dynamische Geometriesoftware

stern
geometrische Begriffe bei IKEA-Produkt-Bezeichnungen

Ikea verwendet schon seit seinen Anfangstagen Namen statt Artikelnummern für seine Produkte. Seit den 70er-Jahren werden die meisten dieser Namen nach einem System vergeben. Die nachfolgende Liste erläutert das System, nach dem die Produktnamen bei Ikea vergeben werden:

• Gardinenzubehör: Mathematische und geometrische Begriffe

Symplektische Geometrie (W3)

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Symplektische Strukturen sind die grundlegenden strukturellen Erhaltungsgrössen der klassischen Mechanik. Sie werden bei der Beschreibung von Modellen der Quantenmechanik benutzt. Viele Lösungsräume von Feldgleichungen besitzen eine natürliche symplektische Struktur.
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TU Freiberg
Die Platonischen Körper

Definition: Ein Polyeder heißt regulär, wenn alle seine Oberflächen aus demselben regelmäßigen Vieleck bestehen und in jeder Ecke gleich viele dieser Vielecke zusammenstoßen.

Spätestens seit Platon ist bekannt, daß es nur genau fünf reguläre konvexe Polyeder gibt:

• Tetraeder aus 4 (grch. tetra) Dreiecken
• Hexaeder aus 6 (grch. hexa) Quadraten
• Oktaeder aus 8 (grch. okta) Dreiecken
• (Pentagon-)Dodekaeder aus 12 (grch. dodeka) Fünfecken (grch. pentagon)
• Ikosaeder aus 20 (grch. eikosi) Dreiecken

Für die Winkel in den Ecken des regelmäßen n-Ecks gilt nämlich:
...

Inhalt

• 0. Allgemeines
• 1. Tetraeder
• 2. Hexaeder
• 3. Oktaeder
• 4. Dodekaeder
• 5. Ikosaeder

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      Etimologia (IT)    

A

Arnone, Wendy (Autor)
Steffen, Markus (Übersetzer)
Geometrie für Dummies

Kurzbeschreibung
Dreiecke, Rechtecke, Quader; alles schon einmal gehört. Aber wie rechnet man noch einmal ihre Flächeninhalte aus? Wie kommt man noch einmal auf die Winkelhalbierenden und wo schneiden sie sich? Es ist ganz einfach. Versprochen. Man muss nur wissen, wann welche Rechnung wo die richtige ist. »Geometrie für Dummies« erklärt den Lesern, wie sie zu den richtigen Ergebnissen kommen, wie sie die Geometrie beherrschen und nicht die Geometrie sie. Das Buch nimmt dieser Disziplin der Mathematik auf nette Art den Schrecken.

Über den Autor
Wendy Arnone ist Dozentin an New York University School of Education und Inhaberin einer Beratungsfirma für Erziehungsinhalte.

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Eschenburg, Jost-Hinrich (Autor)
Jost, Jürgen (Autor)
Differentialgeometrie und Minimalflächen

Kurzbeschreibung
Das vorliegende Lehrbuch bietet eine moderne Einführung in die Differentialgeometrie etwa im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Zunächst wird die Geometrie von Flächen im Raum behandelt. Hierbei wird die geometrische Anschauung des Lesers anhand vieler Beispiele gefördert, deren wichtigste Klasse die Minimalflächen bilden. Zu ihrem Studium werden analytische Methoden entwickelt, und in diesem Zusammenhang wird auch das Plateausche Problem, eine Minimalfläche mit vorgegebener Berandung zu finden, gelöst. Als Beispiel einer globalen Aussage der Differentialgeometrie wird der Bernsteinsche Satz bewiesen. Weitere Kapitel behandeln die innere Geometrie von Flächen, einschließlich des Satzes von Gauss-Bonnet und einer ausführlichen Darstellung der hyperbolischen Geometrie. Verschiedene geistesgeschichtliche Bemerkungen runden diesen Text ab, welcher durch seine Verbindung von geometrischen Konstruktionen und analytischen Methoden einem zentralen Trend der modernen mathematischen Forschung folgt. Das erste Lehrbuch, das eine gründliche Einführung in die Theorie der Minimalflächen gewährleistet.

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Glaeser, Georg (Autor)
Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik

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Kühnel, Wolfgang (Autor)
Differentialgeometrie
Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten

Kurzbeschreibung
Modernes Lehrbuch zur Differentialgeometrie
Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie. Zunächst geht es - das umfaßt etwa die Hälfte des Buches - um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann in der zweiten Hälfte höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel "Die innere Geometrie von Flächen". Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluß bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" sowie in der allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie und wendet sich insbesondere an Studenten mittlerer Semester, nach einem abgeschlossenen Vorlesungs-Zyklus in Analysis und Linearer Algebra (etwa im Umfang der Grundkurs-Bände von O. Forster zur Analysis und von G. Fischer zur Linearen Algebra). Zunächst geht es - das umfaßt etwa die Hälfte des Buches - um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann in der zweiten Hälfte höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden.Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel 4: "Die innere Geometrie von Flächen". Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluß bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" sowie in der allg emeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was auch durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird.

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Scriba, Christoph J. / Schreiber, Peter (Autoren)
5000 Jahre Geometrie
Geschichte, Kulturen, Menschen

Spektrum der Wissenschaft
Die Projektgruppe "Geschichte der Mathematik" an der Universität Hildesheim gibt eine Buchreihe heraus mit einem anspruchsvollen Ziel: "die Entwicklung der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik von ihren Anfängen bis in unsere Tage [zu behandeln], eingebettet in die Kulturgeschichte der verschiedenen Epochen und Zonen unserer Erde und dargestellt in einer zum Selbststudium und als Material zum Fernstudium geeigneten Weise".

Der erste Band der Reihe, "Vom Zählstein zum Computer" (Franzbecker, Hildesheim 1997), enthält eine sehr gedrängte Übersicht zur Geschichte der Mathematik von Hans Wußing (rund 60 Seiten) sowie 50 kurze Mathematikerbiografien, dazu Tafeln und Karten.

Der nun vorliegende zweite Band zur Geschichte der Geometrie füllt eine Lücke in der deutschsprachigen Literatur; denn abgesehen von Spezialuntersuchungen wie Johannes Tropfkes unübertroffener, aber leider nicht neu bearbeiteter "Geschichte der Elementarmathematik" Band 4 (Berlin 1940) gibt es bislang nur die eher summarische "Geschichte der Geometrie" von Klaus Mainzer (Mannheim 1980). Das Werk enthält neun Kapitel, die im Wesentlichen chronologisch geordnet von den Anfängen in vorgriechischer Zeit (Babylon, Ägypten) über die klassische Geometrie der Griechen und das europäische Mittelalter bis in die Gegenwart fortschreiten. Der Hamburger Mathematikhistoriker Christoph Scriba hat die "alte" und die "außereuropäische" Geometrie bearbeitet, während der Greifswalder Mathematiker Peter Schreiber für die "neuere" Geometrie verantwortlich zeichnet. Ergänzt wird der Text durch zahlreiche Abbildungen, Übersichtstafeln, eine Sammlung von 11 Originaltexten (von Platons "Staat" bis Storms "Schimmelreiter"), ein umfangreiches Literaturverzeichnis und ein Personenverzeichnis; nur ein Sachverzeichnis fehlt.
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Rezensent: Dr. Klaus Volkert

Sterling, Mary Jane (Autor)
Muhr, Judith (Übersetzer)
Trigonometrie für Dummies

Kurzbeschreibung
Trigonometrie beschäftigt sich mit Winkeln und Dreiecken. Das hört sich ja ganz einfach an, aber jeder, der sich schon mit Trigonometrie beschäftigen durfte, weiß wie verdammt kniffelig sie sein kann. »Trigonometrie für Dummies« führt die Leser in diese sonderbare Welt ein und versucht dabei auch zu zeigen wo, wann und warum es sinnvoll ist, sich mit diesem Thema zu beschäftigen. Am Ende sind dann Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens keine Fremden mehr sondern gute alte Bekannte.

Über den Autor
Mary Jane Sterling lehrt seit über 20 Jahren Mathematik an der Bradley University und ist Autorin von »Algebra für Dummies«

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