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Beweistechnik, Demostración matemática, Démonstration, Dimostrazione matematica, Mathematical proof

A

B

Beweis (W3)

...
Beweise im wissenschaftlichen Sinne gibt es eigentlich nur in der Mathematik.
...

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Direkter Beweis (W3)

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Indirekter Beweis (W3)

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mathe-online
Beweistechniken

• Beweis durch vollständige Induktion

matheplanet
Einfache Beweise in der Mathematik

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Der Artikel "Einfache Beweise in der Mathematik" soll helfen, wie mathematische Beweise geführt werden können und worauf es zu achten gilt. Anhand (einfacher) Beispiele werden die verschiedenen Beweistechniken verdeutlicht.

Die Gültigkeit mathematischer Aussagen nachzuweisen beginnt mit der Formalisierung der Aussage. Anschließend kann diese mit unterschiedlichen Mitteln bewiesen werden. In dem Dokument werden zunächst einige gängige Aussagentypen vorgestellt, darunter "Implikationsaussagen", "Äquivalenzaussagen", "Allaussagen", "Existenzaussagen". Danach werden unterschiedliche Beweistechniken vorgestellt, um die Gültigkeit dieser Aussagen zu beweisen. Unter anderem der "Direkte Beweis", der "Widerspruchsbeweis", der "Ringschluss" und die "vollständige Induktion".

Die unterschiedlichen Beweistechniken werden auf (einfache) Beispiele verschiedener Bereiche angewendet. Beispielsweise werden Gleichungen über Summenformeln, Teilbarkeit von Zahlen oder geschlossene Formen für rekursiv definierte Funktionen bewiesen.

Einfache Beweise in der Mathematik
Version 2.09
Rouven Walter
28. April 2011
...
Inhaltsverzeichnis

• 1 Mathematische Aussagen und Beweistechniken 2
• 2 Einfache Beweise auf ganzen Zahlen 6
• 3 Das Prinzip der vollständigen Induktion 10
• 4 Einfache Gleichungen über Summen 12
• 5 Aussagen über die Teilbarkeit ganzer Zahlen 13
• 6 Rekursionsgleichungen und geschlossene Formen 19
• 7 Eigenschaften der Addition und Multiplikation auf den natürlichen Zahlen 22
• Literatur 27

N

O

P

Proband, Probe, probieren (W3)

Q

Q. E. D.
Q.E.D.
QED
qed (W3)

...
(It doesn't really mean "Quite Easily Done.")
...

R

S

T

textlog - mauthner
Beweis - Geometrische Beweise - Beweise sind Hypothesen

• I. Begriff und Wort
• II. Die Definition
• III. Das Urteil
• IV. Die Denkgesetze
• V. Die Schlußfolgerung
• VI. Die Induktion
• Deduktion und Induktion
• Induktion und Licht
• Induktive Begriffsbildung
• Induktion und Abstraktion
• "Schwere"
• Kepler, Galilei, Newton
• "Jahr"
• Geschichte der Induktion
• Doppelsterne
• Begriff und Gesetz
• Induktion und Schluß
• Wahrscheinlichkeit
• Kreislauf von Wort und Gesetz
• Beweis
• Hypothesen
• Hypothesen und Worte
• Geometrische Beweise
• Beweise sind Hypothesen
• Auch Begriffe Hypothesen
• VII. Termini technici der induktiven Wissenschaften
• VIII. Wissen und Worte

textlog - sulzer
Beweis - Beweisarten - Beweisgründe

• Beweis: Wahrheit und Deutlichkeit | Ton der Wahrheit und Überzeugung
• Beweisarten
• Beweisgründe

U

Uni Erlangen
Wann ist ein Beweis ein Beweis?

ERICH CHRISTIAN WITTMANN und GERHARD MÜLLER, Dortmund
Wann ist ein Beweis ein Beweis?
...

Uni Magdeburg
Beweise

Beweis:
A.11 A.12 A.13 A.25 A.44 A.45 A.50 A.51 A.52 A.61 A.70 A.72 B.11 B.12 K.1 K.2 K.3 K.4 K.11 K.12 K.13 K.15 K.16 K.17 K.18 K.21 K.22 K.23 K.24 K.25 K.26 K.27 K.32 K.34 K.35 K.43 K.44 K.61 K.62 K.63 K.71 K.74 K.75 D.1 D.2 D.3 D.5 D.6 D.7 D.8 D.9 D.10 D.11 D.12 D.13 D.21 D.22 D.23 D.24 D.25 D.26 D.27 D.28 D.29 D.31 D.34 D.35 D.36 D.38 D.39 D.40 D.41 D.42 D.44 D.46 D.47 D.48 D.49 D.50 D.51 D.54 D.61 D.62 D.63 D.64 D.65 D.66 D.67 D.68 D.69 D.71 D.74 D.75 D.81 D.91 D.93 V.1 V.2 V.3 V.5 V.6 V.7 V.12 V.13 V.14 V.21 V.22 V.23 V.24 V.25 V.27 V.28 V.31 V.32 V.33 V.34 V.35 V.36 V.37 V.41 M.2 M.3 M.4 M.5 M.6 M.7 M.8 M.9 M.10 M.11 M.12 M.13 M.23 M.24 M.25 M.26 M.27 M.29 M.30 M.42 M.51 M.52 M.53 M.54 M.55 M.56 M.57 M.58 M.60 M.61 M.62 M.63 M.64 W.1 W.2 W.3 W.4 W.5 W.6 W.7 W.8 W.9 W.10 W.11 W.12 W.13 W.15 W.16 W.18 W.21 W.22 W.24 W.33 W.34 W.36 W.39 W.40 W.41 W.42 W.43 W.44 W.45 W.46 W.51 W.54 W.61 W.71 W.81 W.84 W.85 W.87 W.89 U.1 U.2 U.3 U.4 U.5 U.6 U.7 U.8 U.9 U.11 U.12 U.13 U.14 U.15 U.16 U.17 U.18 U.19 U.20 U.21 U.22 U.23 U.24 U.25 U.26 U.31 U.32 U.33 U.34 U.35 U.36 U.37 U.38 U.39 U.40 U.41 U.42 U.43 U.45 U.46 U.47 U.48 U.49 U.50 U.51 U.52 U.53 U.54 U.55 U.56 U.57 U.58 U.59 U.60 U.61 U.62 U.63 U.64 U.71 U.72 U.74 U.76 U.77 U.78 U.79 U.80 U.81 U.82 U.83 U.84 U.85 U.86 U.87 U.88 U.89 U.90 U.91 U.92 U.93 U.94 G.1 G.11 G.12 G.13 G.14 G.15 G.16 G.21 G.22 G.23 G.31 G.32 G.61 G.62 G.83 G.84

Beweis, ­indirekter:
D.33 D.45

V

Vollständige Induktion (W3)

W

wikipedia
Beweistechnik

Beweis (Mathematik)

Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit oder auch Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind.

Man kann nach zwei Kriterien Beweise unterscheiden und in zwei Gruppen aufteilen:

• Ein Beweis kann entweder direkt oder indirekt geführt werden.
• Ein Beweis kann entweder konstruktiv oder nicht-konstruktiv sein.

Umfangreichere Beweise werden in der Regel in mehrere kleine Teilbeweise aufgeteilt, von denen dann einige direkt und andere indirekt, einige konstruktiv und andere nicht-konstruktiv sein können.

Inhaltsverzeichnis

• 1 Direkte und indirekte Beweise
• 2 Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise
• 3 Einige besondere Beweismethoden
• 3.1 Vollständige Induktion
• 3.2 Vollständige Fallunterscheidung
• 3.3 Diagonalverfahren
• 3.4 Schubfachprinzip
• 3.5 Transfinite Induktion
• 4 Siehe auch
• 5 Literatur
• 6 Weblinks

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      Dimostrazione matematica (IT)    

A

Aigner, Martin (Autor) / Ziegler, Günter M. (Autor) / Hofmann, Karl H. (Illustrator)
Das BUCH der Beweise

Kurzbeschreibung
Aus den Rezensionen der englischen Ausgabe: "Ein prächtiges, äußerst sorgfältig und liebevoll gestaltetes Buch! Erdös hatte die Idee DES BUCHES, in dem Gott die perfekten Beweise mathematischer Sätze eingeschrieben hat. Das hier gedruckte Buch will eine "very modest approximation" an dieses BUCH sein.... Das Buch von Aigner und Ziegler ist gelungen ..." Mathematische Semesterberichte, 1999"... Martin Aigner...und Günter Ziegler referieren sympathisch einige dieser gottgefälligen Geistesblitze.... Der Beweis selbst, seine Ästhetik, seine Pointe geht ins Geschichtsbuch der Königin der Wissenschaften ein. Ihre Anmut offenbart sich in dem gelungenen und geschickt illustrierten Buch über das BUCH. Um sie genießen zu können, lohnt es sich, das bißchen Mathe nachzuholen, das wir vergessen haben oder das uns von der Schule vorenthalten wurde."

Averroes (Ibn Rushd) (Autor)
Schaerer, Patric O. (Herausgeber, Übersetzer)
Die entscheidende Abhandlung
Die Untersuchung über die Methoden der Beweise

Kurzbeschreibung
Der Band enthält zwei klassische Werke der arabischen Philosophie, die "Entscheidende Abhandlung" (mitsamt ihrem ergänzenden Zusatz) und die "Untersuchung über die Methoden der Beweise", beide etwa 1178-80 entstanden. Ihr Verfasser Averroes bzw. Ibn Rushd erhielt den Beinamen "der große Kommentator", weil er berühmt war für seine Aristoteles-Kommentare. In der arabischen Welt gilt er als konsequentester und zugleich letzter Vertreter der aristotelischen Schule, für die Aristoteles-Kenntnis des lateinischen Mittelalters ist er ein wesentliches Vermittlungsglied. Ein Zeilenkommentar und ein Nachwort geben in dieser Ausgabe alle nötigen Verständnishilfen.

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Havil, Julian (Autor)
Stern, Manfred (Übersetzer)
Verblüfft?!
Mathematische Beweise unglaublicher Ideen

Kurzbeschreibung
Das Buch stellt eine Reihe scheinbar paradoxer mathematischer Aussagen und deren Beweise vor. Sie kommen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, darunter das Geburtstagsparadoxon, Conways Chequerboard-Armee und Torricellis Trompete. Angewendet werden elementare Methoden der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, Geometrie und Analysis. Zahlreiche Abbildungen und Tabellen illustrieren die Fragen und die wesentlichen Schritte zu ihrer Lösung. Das Buch ist für mathematisch Interessierte mit Oberstufenkenntnissen verständlich.

Gegenstand des Buches ist die Lösung einer Reihe von überraschenden mathematischen Aussagen, die leicht zu formulieren sind, die man kaum glaubt (weil sie paradox erscheinen), aber dennoch beweisen kann. Dabei werden elementare Methoden der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, Geometrie und Analysis angewendet werden. Das Ziel des Buches besteht darin, dem mathematisch interessierten Leser eine Reihe von kontraintuitiven Aussagen vorzuführen und eingehend zu analysieren. Diese Paradoxa kommen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, wobei jedoch Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik überwiegen. Behandelt werden u.a. das Geburtstagsparadoxon, Conways Chequerboard-Armee, Torricellis Trompete, nichttransitive Effekte, Verfolgungsprobleme, Parrondo-Spiele, Freitag, der 13., und Fractran. Der Autor baut in jedem Kapitel rund um das jeweilige Paradoxon einen Spannungsbogen auf, der sich im Laufe des Kapitels auf überraschende Weise löst. Zahlreiche Abbildungen und Tabellen illustrieren die Problemstellungen und die wesentlichen Lösungsschritte. Das Buch ist so angelegt, dass es für mathematisch Interessierte mit Oberstufenkenntnissen zugänglich ist.

Geschrieben für Mathematiklehrer, Schüler, Mathematikstudenten und Leser von Spektrum der Wissenschaft etc.

Über den Autor
Der Autor war dreißig Jahre als Mathematikdozent am renommierten Winchester College tätig.

Heintz, Bettina (Autor)
Die Innenwelt der Mathematik
Zur Kultur und Praxis einer beweisenden Disziplin
(Ästhetik und Naturwissenschaften / Bildende Wissenschaften - Zivilisierung der Kulturen)

Kurzbeschreibung
Zeitgerecht zum "Internationalen Jahr der Mathematik 2000" vermittelt dieses Buch einen Einblick in die faszinierende Welt der Mathematik. Die Mathematik ist die strengste, aber gleichzeitig auch die rätselhafteste aller Disziplinen. Sie verbindet, was in der Regel als Gegensatz wahrgenommen wird: Wissenschaft und Kunst, Beweis und Experiment, Formalisierung und Kreativität. Auf der Grundlage einer Feldstudie in einem internationalen Mathematikinstitut untersucht die Autorin die wissenschaftliche Arbeit und das kulturelle Selbstverständnis der Mathematiker. Ausgehend von Erkenntnissen der Wissenschaftssoziologie und Mathematikphilosophie beschreibt sie den Prozess der mathematischen Entdeckung und zeigt auf, über welche Verfahren Mathematiker Einigung erzielen. Ein höchst spannendes Buch für Mathematiker, Soziologen und Wissenschaftsphilosophen.

UMSCHLAGTEXT:
Das vorliegende Buch ist die erste wissenschaftssoziologische Studie, die sich der Kultur der Mathematik von innen her nähert. Auf der Grundlage einer Feldstudie und ausführlichen Interviews untersucht Bettina Heintz die epistemischen Praktiken und das kulturelle Selbstverständnis der Mathematiker.

Beschreibung
Zeitgerecht zum "Internationalen Jahr der Mathematik 2000" vermittelt dieses Buch einen Einblick in die faszinierende Welt der Mathematik. Die Mathematik ist die strengste, aber gleichzeitig auch die rätselhafteste aller Disziplinen. Sie verbindet, was in der Regel als Gegensatz wahrgenommen wird: Wissenschaft und Kunst, Beweis und Experiment, Formalisierung und Kreativität.
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Mir kreist der Hut
Was ist denn das für ein Standpunkt, den Mathematiker vertreten? Bettina Heintz klärt auf

Ein Ingenieur, ein Physiker und ein Mathematiker fahren mit der Eisenbahn durch eine ihnen bisher unbekannte Gegend. Auf einer Weide sehen sie zwei schwarze Schafe. Sagt der Ingenieur: "Hier sind alle Schafe schwarz." Sagt der Physiker: "Hier gibt es wenigstens zwei schwarze Schafe." Sagt der Mathematiker: "Hier gibt es wenigstens zwei Schafe, die auf einer Seite schwarz sind."
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Die Mathematik hat sich im Laufe der Jahrhunderte gewandelt. Ursprünglich umfasste sie auch das, was heute Physik oder Astronomie genannt wird. Nicht umsonst trägt Newtons Hauptwerk den Titel "Philosophiae naturalis principia mathematica". Erst im neunzehnten Jahrhundert wurde die eigentliche, die exakte Mathematik geschaffen, die heutigen Ansprüchen an die Rigorosität genügt. Dabei waren einige Bauernopfer vonnöten.
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Was Reine Mathematik ist, dafür gibt es viele Definitionen. Sagen wir einfach, Reine Mathematik ist Mathematik, die um ihrer selbst willen betrieben wird und vielleicht auch anwendbar ist, aber sich nicht durch Anwendungen rechtfertigt.
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Lakatos, Imre (Autor)
Worrall, John (Autor)
Zehar, Elie (Autor)
Beweise und Widerlegungen
Die Logik mathematischer Entdeckungen

Suchen: Imre Lakatos

• Imre Lakatos (1922-1974), britischer Wissenschaftslogiker ungarischer Herkunft. Er war Professor der Philosophie in London und entwickelte den Falsifikationismus Karl Poppers weiter. Lakatos wurde am 9. November 1922 in Budapest geboren. In seinem zentralen Beitrag zur Wissenschaftstheorie, Falsifikation und die Met... - Gefunden auf http://www.enzyklo.de/lokal/40014
• Imre Lakatos (* 9. November 1922 in Debrecen, Ungarn; † 2. Februar 1974 in London, England) war ein ungarischer Mathematiker, Physiker und Wissenschaftstheoretiker. - Gefunden auf http://de.wikipedia.org/wiki/Imre_Lakato
• Literatur: mit Musgrave, Alan Kritik und Erkenntnisfortschritt. Beweise und Widerlegungen (Proofs and Refutations) Zur Person Imre Lakatos (1922 - 1974). Der Philosoph Imre Lakatos war Professor in London. Er hat an Poppers wissenschaftstheoretisc... - Gefunden auf http://hyperkommunikation.ch/personen/la
• britischer Wissenschaftstheoretiker ungarischer Herkunft, * 9. 11. 1922, † 2. 2. 1974 London; arbeitete insbesondere über die Philosophie der Mathematik. Beeinflusst durch die Wissenschaftstheorie K. R. Poppers , vertrat er die Ansicht, dass die Entwicklung d... - Gefunden auf http://www.enzyklo.de/lokal/42303

Imre Lakatos: Beweise und Widerlegungen
D-GESS-Kreditarbeit von Frank Meier
1. Februar 2004
Inhaltsverzeichnis

• 1 Einleitung 1
• 2 Zusammenfassung und Würdigung des Buches 2
• 3 Anwendung 4
• Literatur 6
• Dank 6

Geschichte der Mathematik im 19. Jahrhundert
Imre Lakatos - Beweise und Widerlegungen
...

Beweise und Widerlegungen
die Logik mathematischer Entdeckungen
Imre Lakatos ; herausgegeben von John Worrall und Elie Zahar
Published 1979 by Vieweg in Braunschweig.
Written in German.

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Naas, Josef (Autor)
Tutschke, Wolfgang (Autor)
Große Sätze und schöne Beweise der Mathematik
Identität des Schönen, Allgemeinen, Anwendbaren

Kurzbeschreibung
Es ist eine Binsenweisheit, dass in allen Wissenschaften - also auch in der Mathematik - eine zunehmende Spezialisierung stattfindet. Insbesondere die Beweismethoden und fundamentalen Sätze sind von einer Allgemeingültigkeit, die jedoch angesichts der modernen Entwicklung in Vergessenheit zu geraten droht. Das Anliegen der Autoren dieses Bandes ist es, dieser Tendenz entgegenzuwirken.

In 15 Kapiteln präsentieren sie zentrale mathematische Problemstellungen aus verschiedenen Zweigen der Mathematik und ihrer Anwendungen: Von der Methode der kleinsten Quadrate über das Einsteinsche Additionstheorem bis zur Lösung von Anfangswertproblemen reicht das Spektrum.

Außerdem enthält das Buch einen Dialog über Mathematik, der Bemerkungen über das Wesen der heutigen Mathematik und daraus resultierende Konsequenzen zum Gegenstand hat.

Aufgrund der Zeitlosigkeit der Thematik wurde diese zweite Auflage im Wesentlichen nur von Druckfehlern bereinigt.

Autorenportrait

Dr. Josef Naas hatte eine Professur für Mathematik in der Akademie der Wissenschaften in Berlin inne.

Dr. Wolfgang Tutschke bekleidet eine Professur für Mathematik an der Technischen Universität Graz.

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